Металургична компания иска да произведе сплав от 30 процента олово (lead), 30 процента цинк (zinc) и 30 процента калай (tin). Компанията може да закупи различни количества от други сплави (A, B, …, I), които да претопи и да произведе желания продукт. Цената на сплавите и тяхното съдържание на олово, цинк и калай (в проценти) са дадени в Таблица 5.1. Колко и от кои сплави трябва да закупи компанията, за да произведе желаната сплав на минимална цена?
import pandas as pd
alloys = pd.read_excel("excel/Alloys.xlsx")
alloys| Alloy | A | B | C | D | E | F | G | H | I | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | % Lead | 10.0 | 10.0 | 40.0 | 60 | 30.0 | 30.0 | 30.0 | 50.0 | 20.0 |
| 1 | % Zinc | 10.0 | 30.0 | 50.0 | 30 | 30.0 | 40.0 | 20.0 | 40.0 | 30.0 |
| 2 | % Tin | 80.0 | 60.0 | 10.0 | 10 | 40.0 | 30.0 | 50.0 | 10.0 | 50.0 |
| 3 | Cost USD/kg | 4.1 | 4.3 | 5.8 | 6 | 7.6 | 7.5 | 7.3 | 6.9 | 7.3 |
Нека x_A, x_B, \ldots, x_I са дяловете от всяка сплав, която купуваме:
\begin{align*} & x_A + x_B + \ldots, x_I = 1 \\ & x_A, x_B, \ldots, x_I \geq 0 \end{align*}
Стойността на килограм продукт е дадена от цените на отделните сплави умножени с техните цени на килограм:
\min C(x_A, x_B, \ldots, x_I) = 4.1 x_A + 4.3 x_B + \ldots 7.3 x_I
Ограниченията за съотношенията на олово, цинк и калай са:
\begin{align*} 10 x_A + 10 x_B + \ldots 20 x_I & = 40 \\ 10 x_A + 3- x_B + \ldots 30 x_I & = 30 \\ 80 x_A + 60 x_B + \ldots 50 x_I & = 30 \\ \end{align*}
Банка е в процес на определяне на кредитната си политика за пет различни сектора с характеристики дадени в следната таблица:
| Вид кредит | Лихва | Дял на несъбираеми кредити |
|---|---|---|
| Потребителски | 0.15 | 0.10 |
| Автомобили | 0.13 | 0.07 |
| Недвижими имоти | 0.12 | 0.03 |
| Земеделие | 0.125 | 0.05 |
| Търговия | 0.10 | 0.02 |
Банката има бюджет от общо 12 милиона лева, които може да използва за кредитиране си при определяне на политиката трябва да се съобрази със следните регулации:
Какъв е оптималният (най-висока печалба) план за банката?
Да приемем, че София е изправена пред бюджетен дефицит и общинският съвет обмисля как да увеличи приходите от данък сгради чрез преустройство на общински имоти. Проектът се състои от две части – разчистване на занемарени и повредени постройки и построяване на нови жилища.
Колко от всеки вид къщи трябва да планира да построи общината, така че да постигне възможно най-високи данъчни постъпления?
Използвайте Excel за да намерите оптималното решение.
Рафинерия произвежда три вида безоловен бензин, които се различават по октановото си число (ON): A: обикновен (ON \geq 87), B: премиум (ON \geq 89) и C: супер (ON \geq 92). Преработката на суровия петрол обхваща три компонента.
Съставете математически модел, на базата на който да препоръчате оптимален (най-висока печалба) производствен план на рафинерията.
Виж Фигура 5.1 за производствената схема на рафинерията.
flowchart LR
A[Дестилация 5:1] -->|ON=82| B[Крекер 2:1]
A --> |ON=82| C
B -->|ON=98| C[Смесител 1:1]
C --> D(ON=87)
C --> E(ON=89)
C --> F(ON=92)
Управител на ресторант установява, че през изминалия сезон е реализирана значително по-малка от очакваната печалба. Една от основните причини е неефективно управление на наетия персонал.
При планиране на дейността за следващия период управителят се обръща към вас за съвет как да подобри дейността. Той ви предоставя следната информация:
След анализ на данни от предходни сезони вие установявате, че на час средно са били обслужвани по 40 малки, 30 средни и 25 големи маси. През следващия сезон не се очакват промени. Според оценката на двамата помощник-мениджъри, сервитьор с опит над 1 година успява да обслужи една малка маса за сумарно време от 5 минути, една средна маса – за 6 минути, а една голяма маса – за 7.5 минути. Аналогичните данни за сервитьор с опит между 6 месеца и 1 година са 7.5, 10 и 15 минути. Сервитьори с опит по-малък от 6 месеца обслужват само малки и средни маси, като съответното време е 15 минути за малка маса и 30 минути за средна маса.
Вашата задача е да минимизирате разходите за възнаграждения, изплатени на сервитьорите, при условие, че ресторантът винаги трябва да разполага с достатъчно на брой служители, които да обслужват заетите маси.
Намерете решението с Excel. Сверете решението си с Таблица 5.2.
Нека x, y, z са броя сервитьори с опит под 6 месеца, между 6 и 12 месеца и над 12 месеца. Общите разходи на час за персонал са
\min C(x, y, z) = 8x + 10y + 15z
Да обозначим трите вида маси с S (small), M (medium) и L (large) и броя сервитьори с различен опит, които обслужват малки маси с
x_{S}, y_{S}, z_{S}
Изискването на час да бъдат обслужени поне 40 малки маси можем да изразим така (като от минутите, които са нужни за обслужването на масите изчислим колко маси на час обслужват трите категории сервитьори):
4 x_{S} + 8 y_{S} + 12 z_{S} \geq 40
За средните по големина маси получаваме:
2 x_{M} + 6 y_{M} + 10 z_{M} \geq 30
За големите маси:
0 x_{L} + 4 y_{L} + 8 z_{L} \geq 25
Променливите трябва да са неотрицателни:
x_{S}, x_{M}, x_{L}, y_{S}, \ldots, z_{L} \geq 0
Общият брой на сервитьорите с различен опит получаваме от броя обслужващи маси S, M и L.
\begin{align*} x & = x_{S} + x_{M} + x_{L} \quad \text{опит под 6 м.}\\ y & = y_{S} + y_{M} + y_{L} \quad \text{опит 6-12 м.}\\ z & = z_{S} + z_{M} + z_{L} \quad \text{опит 6-12 м.}\\ \end{align*}
Решение в Excel
import pandas as pd
import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB
gp.setParam("LogToConsole", 0)
dt = pd.DataFrame(
{
"Tables": ["Small", "Medium", "Large"],
"W1": [15, 20, 9999],
"W2": [7.5, 10, 15],
"W3": [5, 6, 7.5],
"Required": [40, 30, 25]
}
).set_index("Tables")
costs = [8, 10, 15]
dtRestricted license - for non-production use only - expires 2027-11-29
Set parameter LogToConsole to value 0| W1 | W2 | W3 | Required | |
|---|---|---|---|---|
| Tables | ||||
| Small | 15 | 7.5 | 5.0 | 40 |
| Medium | 20 | 10.0 | 6.0 | 30 |
| Large | 9999 | 15.0 | 7.5 | 25 |
m = gp.Model("Restaurant")
w_exp = ["W1", "W2", "W3"]
x = m.addVars(dt.index, w_exp, name="x")
# Objective
m.setObjective(
gp.quicksum(costs[j] * x[i, w_exp[j]] for i in dt.index for j in range(len(w_exp))),
GRB.MINIMIZE,
)
# Constraints
m.addConstrs(
gp.quicksum((60 / dt.loc[i, w_exp[j]]) * x[i, w_exp[j]] for j in range(len(w_exp))) >= dt.loc[i, "Required"] for i in dt.index
)
m.write("restaurant.lp")
# Print the model
# with open("restaurant.lp", "r") as f:
# print(f.read())
m.optimize()
# The solution as a DataFrame
solution = pd.DataFrame(
{
"Tables": [i for i in dt.index for j in range(len(w_exp))],
"Workers": [w_exp[j] for i in dt.index for j in range(len(w_exp))],
"Hours": [x[i, w_exp[j]].X for i in dt.index for j in range(len(w_exp))],
}
).set_index("Tables")
solution.pivot_table(index="Tables", columns="Workers", values="Hours").fillna(0)| Workers | W1 | W2 | W3 |
|---|---|---|---|
| Tables | |||
| Large | 0.0 | 0.0 | 3.125000 |
| Medium | 0.0 | 0.0 | 3.000000 |
| Small | 0.0 | 0.0 | 3.333333 |